⭕ π的逼近

内接正多边形 · 边数 n→∞ 时多边形→圆 · n从3→96

边数 n

📐 π 的计算公式

边长 = 2r · sin(360°/n / 2) = 2r · sin(180°/n)
周长 Pₙ = n × 边长 = n · 2r · sin(180°/n)
π 定义 = 圆周长 / (2r) ← 周长与直径的比值
当 n → ∞，Pₙ → 圆周长，所以 π ≈ Pₙ / (2r) = n · sin(180°/n)
当 n → ∞，π ≈ 3.0000

📖 完整推导 · n→∞时 n·sin(180°/n)→π▾

问题：当 n→∞，sin(180°/n)→0，n·sin(180°/n)=0·∞，到底等于多少？

等阶无穷小：当角度 x→0 时，sin x ≈ x（x 为弧度）
——这句话的意思是，sin x 和 x 在 0 附近几乎一样大。

180° = π 弧度，所以 180°/n = π/n 弧度
当 n→∞，π/n → 0，用等阶无穷小：

sin(180°/n) ≈ π/n

Pₙ = n · 2r · sin(180°/n)
   ≈ n · 2r · (π/n)
   = 2r · π

π 的定义：π = 圆周长 / (2r)
当 n→∞，Pₙ → 圆周长，所以：
   π ≈ Pₙ / (2r)
      ≈ (2r · π) / (2r)
      = π     ✓  自洽

结论：n·sin(180°/n) 这个看似 0·∞ 的式子，收敛到 π。
n=96时，96·sin(1.875°) ≈ 96·0.03272 ≈ 3.1410，误差仅 0.0006。

3.000

π估计值

0.1416

误差

π 精确值（50位）

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

📖 这页在讨论什么？▾

① 什么是圆周率 π：圆周长 ÷ 直径 = 3.14159…——无限不循环小数，是数学中最著名的常数之一。★ 必须掌握

② 割圆术：用内接正多边形逼近圆——边数越多，多边形越接近圆——三国刘徽用 3072 边形算出 π ≈ 3.1416——这是古代"以直代曲"的极限思想。★ 必须掌握

③ 逼近原理：正 n 边形内接于半径 R 的圆——边长 s = 2R·sin(π/n)——n 越大，多边形周长 n·s 越接近圆周长 2πR——即 π ≈ n·sin(π/n)。★ 必须掌握

④ 应用场景：工程计算（圆周长/面积/管道设计）；计算机（π 是三角函数、信号处理的基础）；随机模拟（蒙特卡洛抛点估计 π——正方形内随机撒点，落在圆内的比例 ≈ π/4）；历史意义（割圆术展示了极限思想如何逼近精确值）。★ 必须掌握

⑤ 本页操作：拖动滑块增加正多边形边数，观察多边形越来越"圆"、π 估值越来越接近 3.14159。